Quinto Postulado de Euclides

Fecha de primera versión: 05-08-99
Fecha de última actualización:06-11-2013

El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones matemáticas mas controvertidas de la historia de las matemáticas. 

El quinto postulado aparece, por primera vez, en el libro Elementos de Euclides. Se puede decir que este libro es el libro más importante de Geometría (y podríamos decir de Matemáticas).  Este libro se utilizaba hasta hace poco, en Inglaterra, como libro de texto en las escuelas infantiles. 

Euclides parte de 23 axiomas (un axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración. Por ejemplo el primer axioma de Elementos es "Un punto es lo que no tiene partes") y 5 postulados (un postulado es una proposición no evidente que se admite sin probar. Por ejemplo el 5º postulado dice "Por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una paralela a ésta") y demuestra muchos teoremas (un teorema es una proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados).

Antes de exponer el quinto postulado conviene tener claros los siguietnes conceptos:

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Los ángulos a, b, g y h se llaman ángulos externos, por estar en la zona externa a la delimitada por las rectas R1 y R2. 

Los ángulos c, d, e y f se llaman ángulos internos, por estar en la zona interna delimitada por las rectas R1 y R2.

Los ángulos a y h, y, b y g, se llaman ángulos alternos-externos, por estar en distinto lado de la secante (la recta R3) y ser externos.  

Los ángulos c y f, y, d y e, se llaman ángulos alternos-internos, por estar en distinto lado de la secante (la recta R3) y ser internos.  

Los ángulos a y e, b y f, c y g, d y h, se llaman ángulos correspondientes, (también se llaman ángulos conjugados)  por estar a un mismo lado de la secante y ser uno externo y otro interno. 

El quinto postulado dice: Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.

Esta formulación, que es la original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: 

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.

El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: uno, la existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada y dos, que esta recta es única.

Por lo tanto el quinto postulado puede negarse totalmente o negar sólo la segunda parte.

El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo como teorema, pero no se ha conseguido (ni se conseguirá). Proclo (411-485), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre, Lagrange, FourierGauss y Lobachevsky fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el quinto postulado.

Proclo intentó demostrar, esta proposición equivalente: Dadas dos rectas paralelas R1 y R2 y otra recta R3 que corta a una de ellas, por ejemplo R1, entonces R3 también corta a R2.

Saccheri abordó el problema considerando  un cuadrilátero ABCD, con ángulos rectos en  A y D. Partió de tres casos posibles:

1- Ángulos rectos en B y C.
2- Ángulos obtusos en B y C.
3- Ángulos agudos en B y C.

Pretendía demostrar que los casos 2 y 3 daban lugar a contradicciones insostenibles.

Consiguió demostrarlo para el caso de ángulos obtusos, pero no lo logró con los ángulos agudos. En su intento desarrolló varios resultados que forman parte de la geometría no euclidea, pero su obcecación le impidió dar el paso de admitir que eran posibles otras geometrías.

Lambert también intentó el problema por reducción al absurdo. Consideró un cuadrilátero ABCD, con ángulos rectos en A, B y D. Consideró que el ángulo C podía ser:

1- Recto.
2- Obtuso.
3- Agudo.

Lambert, al igual que Saccheri esperaba llegar a un absurdo en los casos 2 y 3, pero no lo consiguió. 

El convencimiento de que la geometría era un modelo de la realidad física, les impidió a ambos fundar las geometrías no euclideas.

Legendre murió convencido de haber demostrado el Quinto Postulado pero todas sus demostraciones eran erróneas. Los errores de Legendre eran tremendamente sutiles, y dieron lugar a grandes controversias.   

Legendre considera tres posibilidades excluyentes: 
1- La suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º
2- La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º
3- La suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180º

La primera posibilidad la descartó fácilmente, la tercera creyó descartarla, pero cometió el error de apoyarse en un postulado equivalente al quinto postulado.

Lagrange presentó un trabajo a la Academia en 1806 demostrando el postulado, pero se dio cuenta del error y el trabajo no se publicó.

Fourier también hizo buenos intentos de demostración, que no llegó a publicar. 

El primero en sospechar que podría formularse un quinto postulado distinto fue Gauss, pero no se atrevió a publicar nada.

Lobachewski (1792-1856), matemático ruso, formuló una nueva geometría (en su libro Nuevos elementos de Geometría 1855) partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella, demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente.

La geometría que obtenía (aunque consistente) le parecía tan contraria al sentido común que la calificó como geometría imaginaria. A esta geometría se le llama hoy geometría hiperbólica.

Bolyai (1802-1860) también demostró la imposibilidad de probar el quinto postulado y la existencia de geometrías no euclideas. El padre de Bolyai envió a Gauss el trabajo de su hijo y Gauss le contestó alabando el trabajo de su hijo y diciéndole que el había llegado hacía tiempo a la misma conclusión pero que no se había atrevido a publicar nada por miedo a ser mal interpretado.

Bernhard Riemann (1826-1866) partiendo del postulado "Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela", desarrolló la geometría elíptica.

A estas geometrías se les llama geometrías no euclideas. A la geometría euclidea se le denomina también geometría parabólica.

En la geometría euclídea la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, en la elíptica la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º y en la hiperbólica, menor de 180º.