Vectores ortogonales

Fecha de primera versión: 25-09-01
Fecha de última actualización: 06-11-201306-11-2013 s-format="%d/%m/%Y"

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Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt.

Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores:

c1 = b1
c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)
c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)

Los productos que hay en la fracción son productos escalares.

Ejemplo: Sea la base (1,1,1), (0,2,-1) y (1,0,2). Haciendo las operaciones indicadas nos queda:

El vector (1,1,1) se transforma en (1,1,1).
El vector (0,2,-1) se transforma en (0,2,-1) - 1/3 (1,1,1) = (-1/3, 5/3, -4/3).
El vector (1,0,2) se transforma en (1,0,2) - 3/3 (1,1,1) + 3/7 (-1/3, 5/3, -4/3) = (-1/7, -2/7, 3/7).