Aproximación de funciones

Fecha de primera versión: 20-08-00
Fecha de última actualización: 07-07-01

Introducción

Cuando no podemos calcular el valor de una función en un punto, podemos utilizar polinomios para calcular el valor aproximado de la función.

Fórmula de Taylor

Si f(x) y sus n derivadas son continuas en un intervalo que contiene a x = a , podemos aproximar el valor de la función en x = a por esta fórmula:

f(x) = f(a) + (x - a)f'(a)/1! + (x - a)2 f''(a)/2! + (x - a)3f'''(a)/3! + ....

Evidentemente, cuantos más términos calculemos la aproximación será mayor, pero... ¿cuántos términos necesitamos calcular para obtener la aproximación con una precisión determinada?

Esta pregunta se responde con el teorema de Taylor que demuestra que si una función es derivable hasta el orden n + 1 en un intervalo que contiene a a (el punto de la función del que queremos saber su valor) existe un punto b, entre x y a que cumple:

f(x) = f(a) + (x - a) f'(a)/1! + (x - a)2 f''(a)/2! + (x - a)3 f'''(a)/3! + ....+ (x -a)n + 1 f(n +1)'(b)/(n + 1)!

Veamos un ejemplo: Supongamos que aproximamos el valor de sen(0,1) por la función de Taylor sen x = x - x3/3! = 0,099833

Para obtener el valor exacto del sen (0,1) nos falta el término x4 sen (b)/4!. No conocemos b, pero sabemos que el sen b oscila entre 0 y 1, por lo tanto los valores máximo y mínimo de ese término son 0 y 0,00001/4! (= 0,000004). por lo tanto el valor exacto de sen (0,1) está comprendido entre 0,099833 y 0,099837.

Fórmula de Maclaurin

Es un caso particular (x = a) de la fórmula de Taylor.

f(x) = f(0) + x f'(0)/1! + x2 f''(0)/2! + x3 f'''(0)/3! + ....

Ejemplos

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! Esta fórmula se cumple para todos los valores de x.

Ln x = 1/x - 1/x2 + 2!/x3 - 3!/x4 + ...

sen x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... Esta fórmula se cumple para todos los valores de x.

cos x = x - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... Esta fórmula se cumple para todos los valores de x.